ISOMORFISMOS

 

Ya casi estamos a punto de poder unir todas las piezas del rompecabezas, pero aún nos hace falta una definición, que envuelve el corazón de toda esta unidad: el de isomorfismo entre espacios vectoriales. Antes de escribir formalmente este importantísimo concepto, veamos un ejemplo sencillo, aunque fuera de nuestro contexto de estudio.

 

Supongamos que nos encontramos en un planeta lejano, donde solamente conocen dos “números”, el 0 y el 1, y la única forma de operarlos la han definido como sigue:

 

 

Pero en otro lugar del espacio, en vez de números conocen las letras  e  y  a, e inclusive conocen una forma de “operar” estas letras, como sigue:

 

 

No es difícil darse cuenta que en ambos sitios, en realidad están definiendo una operación que, aunque no es exactamente la misma, tiene el mismo fondo. Para precisar esta idea, podemos definir una función:

dada por:

En esta parte, estamos “identificando” el 0 con e, y el 1 con a. Pero lo realmente importante de esta función que hemos definido, es que “preserva” las operaciones de ambos conjuntos, en el sentido de que:

Pensamos en esto, como que la tabla de sumar de un conjunto, corresponde exactamente a la tabla de multiplicar del otro conjunto.

 

En este punto, podemos decir que nuestra función  no es cualquier función, sino que es tal que preserva las operaciones de ambos conjuntos. De hecho, el ejemplo que hemos dado, corresponde a lo que en álgebra abstracta se llaman grupos, y la función   es conocida como “homomorfismo de grupos”.

En nuestro contexto, en vez de grupos estudiamos espacios vectoriales y en lugar de homomorfismos de grupos, transformaciones lineales. Esto es, una transformación lineal no es otra cosa, sino una forma de trasladarse de un espacio vectorial a otro, de tal forma que la forma de operar de un lado se corresponde con la del otro!

Finalmente, vemos que la función , no solamente preserva las operaciones, sino que además es biyectiva. Todas estas cualidades tiene  para realmente mostrarnos el por qué los dos grupos son “semejantes”. El término matemático lo introducimos en la siguiente:

 

Definición.   Sea    una transformación lineal.

i)                    Decimos que  T  es un monomorfismo, si T es inyectiva.

ii)                   Decimos que  T  es un epimorfismo, si T es suprayectiva.

iii)                 Decimos que  T  es un isomorfismo, si T es biyectiva.

 

Así, un isomorfismo no es sino una transformación lineal que es invertible, y por lo tanto, a la luz de nuestra discusión anterior, es una “identificación entre dos espacios vectoriales”.

 

Definición.   Sean VW  dos espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Decimos que V  es isomorfo a  W  si existe un isomorfismo  .Cuando dos espacios vectoriales son isomorfos, escribimos  .

 

En palabras, dos espacios vectoriales son isomorfos, si son indistinguibles como tales. Es importante entonces, preguntarse cuándo dos espacios vectoriales son isomorfos, porque a lo mejor a simple vista lucen diferentes, pero en realidad son la misma cosa.

La respuesta a esta pregunta, es un hecho bien conocido del álgebra lineal, y nos avocaremos a discernir perfectamente los resultados.

 

TEOREMA.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales de dimensión finita sobre el mismo campo  k. Entonces  V  es isomorfo a  W  si y solo si .

Demostración.   “  ”  Sea   un isomorfismo, es decir, T  es lineal  y biyectiva. Si   es una base de  V, entonces como  T  es inyectiva, se tiene que   es linealmente independiente, y como  T  es suprayectiva, se tiene  que  . Por lo tanto, vemos que  es una base de  W, de donde,  .

 ”   Supongamos que   y sean    y   bases para  V  y  W  respectivamente. Sabemos entonces que existe una única transformación lineal   tal que  , pero entonces tenemos que

Por lo tanto, T  es suprayectiva y ya que  , entonces  T  debe ser también biyectiva. Así,   como queríamos demostrar.

 

Como una consecuencia inmediata de este resultado, tenemos el siguiente importante e interesante:

 

COROLARIO.   Sea  V un espacio vectorial, entonces   si y solo si 

 

En otras palabras, no existen más espacios vectoriales de dimensión finita más que los espacios con los que comenzamos este curso, es decir,  .

A manera de ejemplo, tenemos que  ,  etc.

 

Hasta ahora hemos visto como asociar una matriz a cada transformación lineal. El siguiente resultado nos indica que el espacio de todas las transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales de dimensión finita, no es al final de cuentas,  sino un espacio de matrices de .

 

TEOREMA.    Sean  V  y  W  espacios vectoriales de dimensión finita,  con   y  , sean   y   bases ordenadas de  V  y  W, respectivamente. Entonces la función   tal que   es un isomorfismo.

Demostración.   Por las propiedades ya vistas de la matriz asociada a una transformación lineal, es claro que   es lineal.

           

Sean   y   bases ordenadas de  VW  respectivamente. Dada  , sabemos que existe una única  tal que   para cada  . Así que  .

 

COROLARIO.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales de dimensión finita,  con   y  . Entonces  .

 

Terminamos esta sección con un resultado que nos permite ver de manera más clara, la relación entre las transformaciones lineales definidas sobre espacios abstractos,  y las transformaciones lineales definidas sobre  .

 

Primero hacemos la siguiente:

 

Definición.   Sea  V  un espacio vectorial de dimensión n, y sea  una base ordenada de  V. Definimos la función,   tal que  .

 

TEOREMA.      es un isomorfismo.

Demostración. Es obvia.

 

De hecho este teorema es otra forma de demostrar que todo espacio vectorial de dimensión n, es isomorfo a  .

 

TEOREMA.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales de dimensión finita,  con   y  , sea   lineal, sean    y   bases ordenadas de  VW, respectivamente y sea  . Entonces  .

Demostración.  La prueba es muy simple:

                    

 

Una forma gráfica de visualizar este resultado es la siguiente:

                                                                   

                                               V                                      W

 

 

                                                                                        

 

 

                                                                                   

 

En el ambiente matemático, el teorema se abrevia diciendo que el diagrama es conmutativo, en el sentido de que todos los posibles caminos que tienen el mismo inicio y fin, son iguales entre si.